Teorema di Lindemann

Se    X₁,X₂......X_r  sono r numeri algebrici qualsiasi, diversi tra loro, ed  N₁,N₂......N_r sono r numeri algebrici dei quali almeno uno diverso da 0 si ha sempre :

Da questo teorema si ricava la trascendenza di e e di p .

               TRASCENDENZA DI e

Posto R=2, N₁=1, N₂=-X, X₁=X, X₂=0         per il teorema di Lindemann  

cioè      ;  

in particolare per X=1 si ottiene  essendo X numero algebrico (N₂=-X) si conclude che e non è uguale ad un numero algebrico.

TRASCENDENZA DI p

Per la nota formula di Eulero  e^ix = cosx + i senx

per  X = p si ha:  e^pi = -1  cioè   e^pi + 1 = 0   (a)

-dal teorema di Lindemann, se i  fosse algebrico  e X=1 si ha   e^pi 0  (b)

-dalla (a) e dalla (b) deriva l'assurdo. Quindi i è trascendente, cosi come pure è trascendente p.

I numeri trascendenti costituiscono un argomento che ha sempre affascinato i matematici. Ma fino a poco tempo fa, si conoscevano pochissimi esempi di numeri per se stessi interessanti di cui si potesse dimostrare la trascendenza. In una famosa conferenza  al congresso internazionale dei matematici tenutosi a Parigi nel 1900, David Hilbert proponeva 30 problemi di semplice formulazione, alcuni espressi in un linguaggio elementare e popolare, i quali non soltanto non erano mai stati risolti, ma apparivano non immediatamente accessibili alla tecnica matematica del tempo.Questi problemi di Hilbert  rimasero come una sfida per gli studiosi nel periodo di sviluppo matematico che seguì. Da allora sono stati quasi tutti risolti, e spesso la loro soluzione ha avuto il significato di un ben definito progresso nelle vedute e nei metodi generali della matematica. Uno dei problemi che apparivano più difficili a risolversi era la dimostrazione della trascendenza del cosiddetto "numero di Hilbert"  

o anche semplicemente della sua irrazionalità.Per quasi tre decenni non vi fu il minimo spiraglio di luce per la soluzione di tal problema. Finalmente Siegel, e indipendentemente da lui il russo A. Gelfoud, scoprirono, nuovi metodi per dimostrare la trascendenza di molti numeri importanti della matematica compreso il numero di Hilbert   e più in generale ogni numero a^b dove a sia un numero algebrico diverso da 0 e 1, e b un numero algebrico irrazzionale.